¿Quién no oyó esta frase? Bueno, no siempre es cierta.
Vamos a hacer una experiencia, de ser posible con un hijo, sobrino, nieto o niño que tengamos a mano.
Solo precisamos una pelota de tamaño mediano (de fútbol, voleibol, básquet, puede ser de plástico, cuero o goma), un marcador y un alambre flexible (o piola en su defecto).
El adulto agarra la pelota y con el marcador, dibuja dos crucecitas en la pelota, lo más alejadas posibles (digamos que una bien arriba, "cerca del polo norte", y la otra bien abajo "cerca del polo sur").
El niño toma el alambre flexible y debe buscar unir los dos puntos que el adulto marcó usando LA MENOR LONGITUD POSIBLE DEL ALAMBRE Y SIN DESPEGAR EL ALAMBRE DE LA PELOTA. Es decir, apoya una punta del alambre en un punto, y va torneando el alambre para que siga la forma de la pelota, lo va pasando por la superficie de la pelota, hasta que llegue al otro punto. Si cuando une los dos puntos, se da cuenta que "derrochó" alambre, rehace el camino para economizarlo, pero EL ALAMBRE ESTARA SIEMPRE PEGADO A LA PELOTA.
Cuando por fin, a juicio de ambos, se haya alcanzado el objetivo de unir los dos puntos con el mínimo de alambre necesario, el niño sostendrá el alambre firmemente y el adulto retirará la pelota. Ambos observarán la forma del tramo de alambre que logró unir de manera más eficiente los dos puntos y VERAN QUE ES VISIBLEMENTE CURVADA; DE HECHO MUY PARECIDA (Y EN ALGUNOS CASOS EXACTAMENTE IGUAL) A UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA, A UN "PEDACITO DE CIRCUNFERENCIA".
MORALEJA1: EN UNA PELOTA LA DISTANCIA MAS CORTA ENTRE DOS PUNTOS NO SE LOGRA UNIËNDOLOS POR UNA LINEA RECTA SINO POR UN ARCO CURVADO.
MORALEJA2: LOS MAPAS, COMO REPRESENTACION PLANA DEL GEOIDE QUE ES NUESTRO PLANETA (UNA PELOTA MEDIO ABOLLADA POR SU MAL USO; PARA DECIRLO CON UN POCO DE HUMOR NEGRO) NOS ENGAÑAN. CUANDO DECIMOS QUE PARA IR DE UN PUNTO DEL MAPA A OTRO; EL CAMINO MAS CORTO ES LA LINEA RECTA QUE TRAZAMOS EN EL MAPA; CUANDO HAGAMOS EL RECORRIDO REAL LA TRAYECTORIA QUE ESTAREMOS RECORRIENDO SERA UNA CURVA. SI LA DISTANCIA ES CORTA; LA CURVATURA A LO MEJOR ES CASI IMPERCEPTIBLE; PERO SI UD VA EN AUTO DE MONTEVIDEO A RIO DE JANEIRO A SALUDAR AL LOCO ABREU (MANDELE UN ABRAZO DE MI PARTE, YA QUE ESTA) Y LUEGO MEDIANTE UN SIMPLE GLOBO TERRAQUEO MIRA EL RECORRIDO QUE HIZO CON EL ALAMBRITO FLEXIBLE QUE USO EN EL EXPERIEMENTO PEGADO CONTRA EL GLOBO, APRECIARA CLARAMENTE QUE HA TRAZADO UNA TRAYECTORIA CURVADA.
Si ahora tomáramos una pelota con chichones para el experimento con el niño. o una de rugby, o una forma geométrica más compleja, o miramos una trayectoria carretera larga, que implique subir y bajar montañas por ejemplo, veremos que la trayectoria que une de la manera más eficiente los dos puntos no solo es curva sino que hasta puede ser complicada, retorcida por rodeos para evitar los obstáculos o con chichones para subir y bajar dichos obstáculos cuando no hay forma de eludirlos.
¿Cuál es el punto clave en esta historia? El que al alambre no se le permite despegarse de la pelota, del globo terráqueo o del objeto que se usa para experimentar, que llamaremos de aquí en adelante "superficie", y que puede ser una pelota de fútbol, una de rugby, un cubo, una cámara neumática o un patito inflable (¡se desaconseja enfáticame el uso de las muñecas inflables, apuntamos a trabajar con la infancia!).
Pues bien, la trayectoria más corta que uno dos puntos de una superficie SIN SALIRSE DE ELLA se denomina "geodésica" y en general es una curva que puede llegar a ser bastante entreveradita. Sólo cuando la superficie es plana las geodésicas serán una recta: si la superficie es curvada, las geodésicas también lo serán.
El cálculo de las geodésicas en una superficie cualquiera no es ninguna bobada y fue una de los temas que Einstein debió estudiar para poder obtener argumentos cruciales para sostener su visión del universo.
Las geodésicas son uno de los elementos que nos remiten a la GEOMETRIA INTRINSECA. Es decir, como el nombre lo sugiere, las propiedades geométricas de un objeto que se pueden apreciar "SIN SALIRSE DE ELLOS, SIN USAR INFORMACION QUE VENGA DEL EXTERIOR DE ELLOS". Es absolutamente natural y crucial para muchos objetos prácticos.
Para distinguir la mirada intrínseca y la extrínseca, pondremos un ejemplo muy sencillo que, nuevamente, puede trabajar con un niño.
Imaginemos que dos puntos A y B de un terreno están separados por un zanjón de 10 metros de anchos y 10 metros de profundidad. De ambos puntos bajan escaleras hasta el fondo del zanjón, el cual es perfectamente transitable, es un terreno liso y sin obstáculos.
Preguntémonos entonces cual es la distancía mínima a recorrer para pasar desde el punto A al punto B y hagamos desde una mirada intrínseca y desde una mirada extrínseca.
Empecemos por la extrínseca: A y B están separados 10 metros. Pero no podemos recorrer esos 10 metros con los recursos que tenemos, porque en el medio hay un zanjón que nos hará rompernos la crisma si nos caemos. Y por más audaces que seamos y carrera que tomemos, saltar los 10 metros del ancho del zanjón es imposible. Precisamos que alguien nos tienda un puente de emergencia, o nos aporte algún recurso para volar desde A hasta B para poder recorrer esos 10 metros. Es decir, para que realmente sean 10 metros la distancia a recorrer entre A y B PRECISAMOS RECURSOS EXTERNOS; QUE NO CONTAMOS EN PRINCIPIO CUANDO PLANTEAMOS EL PROBLEMA. Por lo tanto "10 metros" sería la respuesta de una visión EXTRINSECA, que "PIDE RECURSOS EXTRA".
Vayamos ahora a la intrínseca. Descartado el saltar el zanjón o pedir recusrso externos para superarlos, la manera de llegar de A a B caminando lo menos posible es bastante obvia. Bajamos 10 metros por la escalera que sale de A, caminamos desde allí hasta donde llega la escalera de B, cruzando el fondo del zanjón (otros 10 metros) y luego subimos los 10 metros de la escalera que llevan del fondo del zanjón a B. Distancia total recorrida: 10+10+10= 30 metros. Por lo tanto, desde una vision INTRINSECA , es decir "USANDO LO QUE HAY, VALOR" la respuesta a la distancia entre A y B es "30 metros".
Próximamente y siempre con ejemplos para niños, reviviremos un descubrimiento que el genial Euler hiciera sobre 1752, que tiene que ver a la vez con geometría intrínseca y con Topología (no es un insulto ni tiene nada que ver con el Topo Giggio, es una rama de la Matemática cuyo nombre asusta pero cuyas ideas fundamentales son sencillísimas de entender y completamente naturales).
El desarrollo de la geometría intrínseca y el cálculo de geodésicas es rama aún hoy de investigación matemática, por ejemplo, bajo el apelativo de "Geometría Riemanniana" (en honor a Bernhard Reimann, genial matemático del que ya hablaremos y que junto a Euler, Gauss, Bonnet y otros, tanto aportaran para el desarrollo de la geometría intrínseca, la Topología y otras yerbas).
Si acepta el convite, será hasta la próxima. ¡Pero hágame caso y con una pelotita, un marcador y un alambrecito, encuentre sus primeras geodésicas curvadas! No cuesta nada, alimenta la curiosidad, y aunque quizás aún no me lo crea, poco a poco va cambiando su percepción de la realidad, ayudándole a verla desde diversas perspectivas. Vale la pena.
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